Grup circular

En matemàtiques, el grup circular, simbolitzat per T, és el grup multiplicatiu de tots els nombres complexos amb valor absolut 1, és a dir, la circumferència unitat en el pla complex o, senzillament, els nombres complexos unitaris^[1]

${\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.}$

El grup circular és un subgrup de C^×, el grup multiplicatiu de tots els nombres complexos no-nuls. Com que C^× és abelià, llavors T també ho és. El grup circular també és el grup U(1) de matrius unitàries de dimensió 1×1 amb entrades complexes; aquestes matrius actuen sobre el pla complex per rotació al voltant de l'origen. El grup circular es pot parametritzar per l'angle θ de rotació mitjançant

${\displaystyle \theta \mapsto z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$

Aquesta és l'aplicació exponencial per al grup circular.

El grup circular juga un rol molt important en la dualitat de Pontryagin, i en la teoria de grups de Lie.

La notació T per al grup circular prové del fet que, amb la topologia estàndard, el grup circular és un 1-tor. Més en general, Tⁿ (el producte directe de T amb ell n vegades) és geomètricament un n-tor.